■ABCからDEへ(その1)

  Wythoff's constructon for uniform polytopes, p49

の問題を計算する.

 N0=x/2^4・5!=27

 N1=x/2・5!=216

 N2=x/6・2・6=720(α2)

 N3=x/24・2=1080(α3)

 N4=x/5!・2+x/5!=216(α4)+432(α4)

 N5=x/6!+x/2^4・5!=72(α5)+27(β4)

 頂点図形はhγ5で,5次元:(f0,f1,f2,f3,f4)=(16,80,160,120,16+10)

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[1]0次元面→コクセター図形にhγ5ができる

x・27=432

x=16(hγ5の頂点数)

[2]1次元面→コクセター図形にα4ができる

x・27+y・216=1080+2160

x=80(hγ5の辺数)

y・216=1080

y=5(α4の頂点数)

[3]2次元面→コクセター図形にα1ができる

x・27+y・216+z・720=1440+2160+4320

x=160(hγ5の面数)

y=10(α4の辺数)

z・720=1440

z=2(α1の頂点数)

[4]3次元面→コクセター図形にα0ができる

x・27+y・216+z・720+w・1080=720+1080+1080+2160+2160

x=120(hγ5の3次元面数)

y=10(α4の面数)

z=1(α1の辺数)

w・1080=1080

w=1(α0の頂点数)

[5]4次元面→コクセター図形にα0ができる

x・27+y・216+z・720+w・1080+v・(216+432)=216+432+432+270+1080

x=16+10(hγ5の4次元面数)

y=5(α4の3次元面数)

z=0(α1の2次元面数)

w=0(α0の1次元面数)

v(216+432)=216+432

v=1(α0の0次元面数)

[6]5次元面→コクセター図形にα0ができる

x・27+y・216+z・720+w・1080+v(216+432)+u(72+27)=27+216+27+72

x=1(hγ5の5次元面数)

y=1(α4の4次元面数)

z=0(α1の3次元面数)

w=0(α0の2次元面数)

v=0(α0の1次元面数)

u(72+27)=27+72

u=1(α0の0次元面数)

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[まとめ]

途中で退化するところはリンクなしドットを補うことにすると,単純鎖の場合と同じように計算することがわかる.

しかし、もうひとつの2重点(122)からはじめる場合は同じ結果が得られることは期待できない。trialityとdualityの違いである.

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