[Q]三辺の長さがa,b,cである直角三角形に内接する正方形のうちで、面積が最小のものを求めよ

[A]正方形の1辺の長さをｒとする。

r=ab/(a+b)

b=1としても一般性は失われない。

r=a/{a+1}

dr/da={a+1-a}/{a+1}^2

=1/{a+1}^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正方形の1辺が斜辺上に乗っている場合はどうなのだろうか？

[Q]三辺の長さがa,b,cである直角三角形に内接する正方形のうちで、面積が最小のものを求めよ

[A]正方形の1辺の長さをｒとする。

r=(a^2+b^2+ab)/ab(a^2+b^2)^1/2

b=1としても一般性は失われない。

r=(a^2+a+1)/a(a^2+1)^1/2=(a+1+1/a)/(a^2+1)^1/2

dr/da={(1-1/a^2)(a^2+1)^1/2-a(a+1+1/a)(a^2+1)^-1/2}/(a^2+1)

={(1-1/a^2)(a^2+1)-a(a+1+1/a)}/(a^2+1)^3/2

=-{a+1+1/a^2}/(a^2+1)^3/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[Q]どちらが大きいか？

[A]

r=a/(a+1), S1=a^2/(a+1)^2

r=(a^2+1+a)/a(a^2+1)^1/2, S2=(a^2+1+a)^2/a^2(a^2+1)

S1-S2＝{a^4(a^2+1)-(a^2+1+a)^2(a+1)^2}/a^2(a+1)^2(a^2+1)

{a^4(a^2+1)-(a^2+1+a)^2(a+1)^2}=a^4(a^2+1)-(a+1)^4+a(a+1)^2

=a^6-3a^3-4a^2-3a-1

数値計算にてｓ1＜ｓ2となることがわかる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝