[Q]三辺の長さがa,b,cである直角三角形に内接する正方形のうちで、面積が最小のものを求めよ

[A]正方形の1辺の長さをｒとする。

r=ab/(a+b)

b=1としても一般性は失われない。

r=a/{a+1}

dr/da={a+1-a}/{a+1}^2

=1/{a+1}^2

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正方形の1辺が斜辺上に乗っている場合はどうなのだろうか？

[Q]三辺の長さがa,b,cである直角三角形に内接する正方形のうちで、面積が最小のものを求めよ

[A]正方形の1辺の長さをｒとする。

r=(a^2+b^2+ab)/ab(a^2+b^2)^1/2

b=1としても一般性は失われない。

r=(a^2+a+1)/a(a^2+1)^1/2=(a+1+1/a)/(a^2+1)^1/2

dr/da={(1-1/a^2)(a^2+1)^1/2-a(a+1+1/a)(a^2+1)^-1/2}/(a^2+1)

={(1-1/a^2)(a^2+1)-a(a+1+1/a)}/(a^2+1)^3/2

=-{a+1+1/a^2}/(a^2+1)^3/2

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