散在群において、対蹠点までの距離を求めるのは、探索路が多く、結構骨が折れる作業であるが、

正２４胞体３

正６００胞体５

正１２０胞体１５

の経路が見つかった。頂点の位置を定めるのが肝心な点であった。

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　　φ^-4＝−３φ＋５ √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３ √５φ^-3＝４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２ √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１ √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１ √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１ √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１ √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２ √５φ^4＝７φ＋４

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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正６００胞体５は個数１２の頂点を結ぶ

１+φ^-2+（2-φ）^2=１−φ＋２−３φ＋５＝８−４φ＝４φ^-2

（φ−１）^2+(1-φ^-1)^2+(φ−φ^-1)^2=φ^-2+φ^-4+1=−φ＋２−３φ＋５+1８−４φ＝４φ^-2

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正２４胞体３は個数８の頂点を結ぶ

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正１２０胞体１５は、まず個数４の頂点10を結ぶ

3φ^-2+｛4-(3root5+1）/2｝

＝−3φ＋6+（7-3root5)^2/4=−3φ＋6+(94-42root5)/4

＝−3φ＋6+（7-3root5)^2/4=−3φ＋6+34-21φ=(40-24φ)=8φ^-4

個数12の頂点20を結ぶ

(φ−φ^-1)^2+2(φ^-1−φ^-2)^2+{(5+root5)/2-(3root5+1）/2｝^2

=1+2(2φ-3)^2+{2-root5｝^2

=1+2(-8φ+13)+9-4root5=1-8-8root5+26+9-4root5=28-12root5=28-12(2φ-1)=8φ^-4

個数24の頂点30を結ぶ

(2−φ)^2+(2φ^-1-φ^-2)^2+φ^-4+{(2+2root5)/2-(5+root5）/2｝^2

=φ^-4+5φ^-4+φ^-4+(14-6root5)/4=5φ^-2+5φ^-4+φ^-4+5-3φ

＝7φ^-4+5-3φ=8φ^-4

個数24の頂点60を結ぶ

(φ^2-2)^2+(2-root5)^2φ^-2+φ^-2+φ^2{φ-2｝^2

=3φ^-2+φ^-8=8/φ^-4

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これを続けていくと

00→10→20→30→60→81→11→14→16となり

正１２０胞体１５

が確定する。

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求めるべきものは切り口ではなく、天地に頂点を配置した際の側面図である。

　Coxeter, Regular polytopes, appendixによると

[３]　正２４胞体の側面の距離は４

[４]　正６００胞体の側面の距離は８

[５]　正１２０胞体側面の距離は３０

その中から辺の長さと等しくなるものを選ぶと

　　　　　　　　　辺数　　　平行な辺の組数　　　対蹠点までの距離　

正５胞体　　　　　１０　　　ー　　　　　　　　　　　　　−

正８胞体　　　　　３２　　　４組×８本ずつ　　　　　　４

正１６胞体　　　　２４　　　２組×１２本ずつ　　　　　２

正２４胞体　　　　９６　　　２組×４８？本ずつ　　　　３（切り口は正六角形）

正１２０胞体　　　1200　　　２組×６００？本ずつ　　１５　

正６００体　　　　７２０　　２組×３６０本ずつ　　　　５（切り口は正１０角形）

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　4次元正多胞体の対称超平面による切り口は

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　対称超平面数

正５胞体　　　　　四面体１０　　　　　　　　　　　　　　１０

正８胞体　　　　　立方体４、直方体１２　　　　　　　　　１６

正１６胞体　　　　正八面体４、八面体１２　　　　　　　　１６　

正２４胞体　　　　菱形12面体１２、立方八面体１２　　　　２４

正１２０胞体　　　４２面体６０　　　　　　　　　　　　　６０　

正６００胞体　　　　８０面体６０　　　　　　　　　　　　　６０

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