■対蹠点までの距離(その206)

散在群において、対蹠点までの距離を求めるのは、探索路が多く、結構骨が折れる作業であるが、

正24胞体3

正600胞体5

正120胞体15

の経路が見つかった。頂点の位置を定めるのが肝心な点であった。

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  φ^-4=−3φ+5 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3 √5φ^-3=4φ+7

  φ^-2=−φ+2 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2 √5φ^4=7φ+4

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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正600胞体5は個数12の頂点を結ぶ

1+φ^-2+(2-φ)^2=1−φ+2−3φ+5=8−4φ=4φ^-2

(φ−1)^2+(1-φ^-1)^2+(φ−φ^-1)^2=φ^-2+φ^-4+1=−φ+2−3φ+5+18−4φ=4φ^-2

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正24胞体3は個数8の頂点を結ぶ

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正120胞体15は、まず個数4の頂点10を結ぶ

3φ^-2+{4-(3root5+1)/2}

=−3φ+6+(7-3root5)^2/4=−3φ+6+(94-42root5)/4

=−3φ+6+(7-3root5)^2/4=−3φ+6+34-21φ=(40-24φ)=8φ^-4

個数12の頂点20を結ぶ

(φ−φ^-1)^2+2(φ^-1−φ^-2)^2+{(5+root5)/2-(3root5+1)/2}^2

=1+2(2φ-3)^2+{2-root5}^2

=1+2(-8φ+13)+9-4root5=1-8-8root5+26+9-4root5=28-12root5=28-12(2φ-1)=8φ^-4

個数24の頂点30を結ぶ

(2−φ)^2+(2φ^-1-φ^-2)^2+φ^-4+{(2+2root5)/2-(5+root5)/2}^2

=φ^-4+5φ^-4+φ^-4+(14-6root5)/4=5φ^-2+5φ^-4+φ^-4+5-3φ

=7φ^-4+5-3φ=8φ^-4

個数24の頂点60を結ぶ

(φ^2-2)^2+(2-root5)^2φ^-2+φ^-2+φ^2{φ-2}^2

=3φ^-2+φ^-8=8/φ^-4

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これを続けていくと

00→10→20→30→60→81→11→14→16となり

正120胞体15

が確定する。

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