【２】ブラーマグプタの銘言

ブラーマグプタの銘言に「数学者とは

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を１年以内に解ける人のことである」とあるそうです．

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ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

　そして，ブラーマグプタはこの恒等式を使って

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を解いたそうです（６２８年）．

　たとえば，ｘ＝１０，ｙ＝１のとき

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝８

比較的小さい値なので，これを使うことにする．

［１］ブラーマグプタの恒等式に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝１０，ｙ1＝ｙ2＝１

を代入すると

　　８^2＝１９２^2−１９２・２０^2

　　１＝２４^2−９２・（５／２）^2

［２］ブラーマグプタの恒等式に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝２４，ｙ1＝ｙ2＝５／２

を代入すると

　　１＝１１５１^2−９２・１２０^2

　したがって，（ｘ，ｙ）＝（１１５１，１２０）はペル方程式の整数解となる．

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［３］また，連分数を使うと

　√９２の連分数展開は

　　√９２＝［９：１，１，２，４，２，１，１，１８，１，１，２，４，・・・］

周期は８すなわち［１，１，２，４，２，１，１，１８］であるが，周期の最後のひとつ前までの近似分数が

　　１１５１／１２０

であることから

　　１＝１１５１^2−９２・１２０^2

となる．

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