【５】ファイゲンバウムの定数（１９７５年）

　　λ1＝３　　（２周期が生じる）

　　λ2＝３．４４９　　（４周期が生じる）

　　λ3＝３．５４４０９　　（８周期が生じる）

　　λ4＝３．５６４４　　（１６周期が生じる）

　　λ5＝３．５６８７５９　　（３２周期が生じる）

　　・・・，λnは収束し

　　λ∞＝３．５６９９４６

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１９７５年頃，ファイゲンバウムはロジスティック写像の周期倍分岐について調べ始めた．まず彼は２^n周期軌道が最初に出現する値λnを予測するための母関数理論を発展させた．どこで次の分岐が生じるかを推測し，λnが幾何級数的に収束し，連続する２つの転移間の距離が４．６６９２・・・の割合で縮んでいくという簡単な規則に気づいた．

　　λ2−λ1＝．４４，λ3−λ2＝．１，λ4−λ3＝．０２４，λ5−λ4＝．００２，このとき，

　　（λn−λn-1）／（λn+1−λn）→４．６６９２・・・

となる．一定の倍率で縮むことになるというわけです．

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【６】宇宙定数

ｆ（ｘ）＝ｋｘ（１−ｘ）のときの繰り返し写像

　　ｆ^(2)（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｘ））

　　ｆ^(4)（ｘ），ｆ^(8)（ｘ），・・・

では重要な領域はますます互いに似てくる．このことから分岐が起こるパタメータの値に対する自己相似のスケーリング則が得られる．

　　（λn−λn-1）／（λn+1−λn）→４．６６９２・・・

　これが宇宙定数というあだ名を付けられた，有名なファイゲンバウムの定数である．

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　周期倍分岐は２次写像だけの性質ではなく，たとえば，

　　ｘn+1＝ｒｓｉｎπｘn

でも生じ，実際のところ，どのような単峰写像が反復されたとしても，同一の収束半径

　　（λn−λn-1）／（λn+1−λn）→４．６６９２・・・

が出現する．

　この意味において，ファイゲンバウムの定数は普遍的であって，円に対するπと同様に，周期倍分岐に対して基本となる新たな数学定数となったのである．

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