【５】ハミルトン閉路

グラフの同じ辺を2度通らずにすべての頂点をめぐることのできる路をハミルトン路というのですが，与えられたグラフに対してハミルトン閉路が存在するのか否かを決定する一般的な基準を見つけることはグラフ理論の中でも最も難しい問題のひとつです．タットは，たとえば，4連結な平面グラフはつねにハミルトン閉路をもつ．３連結，３次正則でかつハミルトン閉路をもたない平面グラフの知られている最小の次数は４６であるとかを彼は示した．

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［１］ハミルトン閉路をもたないグラフで，頂点をひとつ取り除いた部分グラフもハミルトン閉路をもつ最小次数のものはペテルセングラフである（最小次数１０）．ペテルセングラフは五角形とその内側にある星形五角形を結んだ形として描かれることが多い．

［２］４連結なグラフはいつでもハミルトン閉路をもつ

［３］３次正則３連結でかつハミルトン閉路をもたない，知られている平面グラフの最小次数は４６である．

［４］３次正則５辺連結でかつハミルトン閉路をもたない，知られている平面グラフの最小次数は４４である．

［５］単純凸多面体，すなわち，どの頂点次数も３のとき，頂点の数が２８以下であればハミルトン閉路をもつ（立方体，切頂八面体，正十二面体など）

［６］単純多面体でかつハミルトン閉路をもたないことが知られている多面体の最小頂点数は３８である．

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