■正方形分割(その3)

【2】電気回路に対する連分数理論

たとえば,抵抗Rkが直列,抵抗Gkが並列に入ったはしご型回路の全抵抗は,連分数

  z=[R0:G1,R1,G2,R2,・・・]

で与えられる.すべてのRk=1,Gk=1であれば,

  zn=1+1/(1/1+1/zn-1)=1+zn-1/(1+zn-1)

  (zn−1)(zn-1+1)=zn-1

において,n→∞のとき,zn-1→x,zn→xとすれば,

  x^2−1=x,x^2=x+1

より

  z=(1+√5)/2

に等しくなる.

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電気回路に対する連分数理論は,ユークリッドの互除法に基づくアルゴリズムであって,縦がa,横がbの長方形の分割では左から正方形を最大個数詰め,次に残りの長方形において下から正方形を最大個数詰め,・・・,最後の残った長方形において左から正方形を最大個数詰めると,正方形分割が得られることを示しています.

たとえば,縦が5横が7の長方形において,左から1辺の長さが5の正方形を1つ詰め,下から1辺の長さ2の正方形を2つ詰め,最後に残った長方形において左から対して1辺の長さ2の正方形を2つ詰めると,正方形分割が得られます.これを連分数表示すると

  7/5=[1:2,2]→正方形領域数5

 同様に

  11/7=[1:1,1,3]→正方形領域数6

これがひとつの正方形を整数の辺をもつ等しくない正方形に分割する問題の解答を導くのに応用されたのです.

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