■カタラン数と漸化式(その5)

【4】カタラン数の母関数

カタラン数の母関数を

  C(x)=c(0)+c(1)x+c(2)x^2+・・・+c(n)x^n+・・・

とおく.これを2乗すると

  C(x)^2=c(0)c(0)+(c(0)c(1)+c(1)c(0))x+ (c(0)c(2)+c(1)c(1)+c(2)c(0))x^2+・・・

 ここで,

  c(0)c(0)=c(1)

  c(0)c(1)+c(1)c(0)=c(2)

  c(0)c(2)+c(1)c(1)+c(2)c(0)=c(3)

であるから,

  C(x)^2=c(1)+c(2)x+ c(3)x^2+・・・

 次数を揃えるために,両辺にxをかけて

  xC(x)^2=c(1)x+c(2)x^2+ c(3)x^3+・・・

  xC(x)^2=C(x)−c(0)=C(x)−1

 C(x)に関する2次方程式:C(x)=x+{C(x)}^2

を解いて,C(0)=1を満足させなければならないので,複号は負号をとると,母関数は

  C(x)={1−(1−4x)^1/2}/2x

ここでニュートンの二項展開

  d^n/dx^n(1−4x)^1/2=−2^n(2n−3)!!(1−4x)^(1/2-n)

により,一般項

  c(n)=2nCn/(n+1)=(2n)!/(n+1)!n!

が得られる.

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