■類数と不変式(その4)

【3】2次形式

2つの整数の平方和として表される整数を求める問題は,古代ギリシアで議論されている.

  x^2+y^2=m

 これを一般化すると

  ax^2+bxy+cy^2=m  (a,b,c,m:整数)

の整数解を求める問題になる(18世紀).

[1]判別式D=b^2−4ac=0のとき,完全平方式になる.

  g(px+qy)^2=m

  gはa,b,cの最大公約数,p,qは互いに素な整数

  gX^2=m

[2]判別式D=b^2−4ac<0のとき,平方の和になる.

  (2ax+by)^2+|D|y^2=4am

  X^2+|D|Y^2=4am

[3]判別式D=b^2−4ac>0のとき,平方の差になる.

  g(px+qy)(rx+sy)=m

  gXY=mあるいは

  (2ax+by)^2−Dy^2=4am→X^2−DY^2=4am

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 統一的に眺めると

  ax^2+bxy+cy^2=m  (a,b,c,m:整数)を

  X=px+qy,Y=rx+sy

と変数変換し

  a’X^2+b’XY+c’Y^2=m

に帰着させることである.

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