２次方程式ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０が重根をもつためには，判別式

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＝０

が必要十分条件である．

３次方程式の判別式は，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の係数を代入して整理すると，

　　Ｄ＝−４ａｃ^3−２７ａ^2ｄ^2＋１８ａｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

が得られるが，とても憶える気にならないし，また，憶えられる代物でもないであろう．ｆの次数が高い場合，その判別式を計算するのは容易ではない．ちなみに，５次方程式の判別式の項数は５９にもなるという．

また，ｆの次数が高い場合の判別式は，重根をもつことは判定できても，実係数２次方程式のように実根，虚根，重根の判別ができるわけではない．たとえば，実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

　４次以上の実係数方程式の場合は

　　Ｄ＝０：重根をもつ

　　Ｄ＞０：偶数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

　　Ｄ＜０：奇数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

であり，Ｄ＝０は重根をもつための必要十分条件であっても，実根，虚根の判別ができるわけではないのである．

以下に紹介するのは，重根をもつ・もたないの判別ではなく，素数の分解法則と密接に関係している判別式です．

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