【３】ラマヌジャンのゼータ関数

　１９１６年，ラマヌジャンは，ラマヌジャン関数

　　Δ（ｚ）＝ｑΠ（１−ｑ^n）^24＝Στ（ｎ）ｑ^n

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

に対するゼータ関数について考え，ある予想をたてました．

　ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，

　　Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)

とおくと，オイラー積のアナローグである

　　Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)

が成り立つことを予想したのです．

　歴史上最初のゼータであるオイラー積

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数ではｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．

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係数τ(ｎ)はｎが増加するとき，急激に増加するため，およその大きさを決めるのは難しい問題のひとつであったが，

　　｜τ（ｐ）｜＜２ｐ^11/2

であることをラマヌジャンが予想し，１９７３年にドリーニュがそれを証明しました．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式

　　1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2

の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．ラマヌジャン予想はギリギリの予想であって，たとえばｐの指数を１１／２＝５．５からちょっと小さくして５．４９９としたとすると，｜τ(p)｜＜２ｐ^5.499とはならない素数ｐが存在するのです．この業績により彼にはフィールズ賞が与えられている．ドリーニュは巨人グロタンディークの肩に乗って，解決に至ったのである．

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