■整数の表現(その14)

【3】分割数の母関数

 この問題を一般化して

  n=k1+2k2+3k3+・・・   (k1≧0,k2≧0,k3≧0,・・・)の個数p(n)を考えます.n=5の場合,a5に

  1+4,5

が加わり,p(5)=7となります.

 以上のことから,分割数は以下の公式によって代数的に定義することができることがわかります.

  f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)・・・(1-x^n)・・・}^(-1)    =(1+x+x^2+・・・)(1+x^2+x^4+・・・)(1+x^3+x^6+・・・)(1+x^4+x^8+・・・)・・・

=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+・・・

すなわち,f(x)は分割関数p(n)の母関数で,p(n)はx^nの係数になっています.

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x^k1を第1因子(1+x+x^2+・・・)の一般項,x^2k2を第2因子(1+x^2+x^4+・・・)の一般項,x^3k3を第3因子(1+x^3+x^6+・・・)の一般項,・・・とすると,

n=k1+2k2+3k3+・・・

となって,x^nの項が整数nの分割に対応することになるのですが,オイラーはこのようにしてp(n)の母関数

 f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)・・・(1-x^n)・・・}^(-1)

  =Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+・・・

を得たのです.

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