【３】ヨハン・アルブレヒト・オイラー

　以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．この最良値を完全に決めることはまだできていませんが，下限については，ガウス記号を用いて

　　　ｇ（ｋ）≧２^k＋［３^k／２^k］−２

は証明されています．１≦ｋ≦１０では

ｋ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

下界　１　　４　　９　　19　　37　　73 143 279 548 1079

となり，ここに示した値はすべてこの式を満たし，かなりの範囲のところまで正しいことが確認されます．このことから

　　ｇ（ｋ）＝２^k＋［３^k／２^k］−２

と予想されています．

ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２

の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラー（１７７２年）で，この式では等号が成立すると予想されているのです．

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（Ｑ）ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇを求めよ．

（Ａ）簡単のため，ｑ＝［（３／２）^k］とおく．このとき，

　　２^kｑ−１＜３^k

であるから，ｎをｋ乗数の和として表すときに１^kと２^kしか使えないことがわかる．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

のように，ｎ＝２^k＋・・・＋２^k＋・・・とできるだけ２^kを並べ，あとは１^k＋・・・＋１^kとすればよい．

また，

　　ｎ＝２^k・ｑ−１

は２^kを最大でｑ−１個含むことに注意すると

　　ｎ＝２^k｛ｑ−１｝＋２^k−１

つまり，２^kをｑ−１個，１^kをｎ−２^k｛ｑ−１｝＝２^k−１個使って表すしかない．ｎをｋ乗数の和として表すのに必要な最低限の個数は

　　ｇ＝ｑ−１＋２^k−１＝２^k＋ｑ−２

よって

　　ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２

が成り立つ．

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［補］ウェアリングの問題の対するヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式『ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇ（ｋ）について，不等式

　　ｇ（ｋ）≧［（３／２）^k］＋２^k−２

が成り立つ』

を紹介しました．

ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１はｋに縛られた特別な値であって，任意の整数ではなく一般性が失われています．無論，任意の整数はすべてこの式で表せるわけでもありません．

しかるに，ウェアリングの問題のかなりの範囲のところまで正しいことが確認されています．ヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式は，局所情報から何がわかるかという局所情報から大域的な情報を引き出す数学の例になっています．この点がこの不等式の最大の特長なのです．

一般に，Ａk＝［（３／２）^k］，Ｂk＝（３／２）^k−［（３／２）^k］，Ｃk＝［（４／３）^k］とおけば，すべての正の整数ｋについて

［１］Ａk＋２^kＢk≦２^kのとき

　　ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２

［２］Ａk＋２^kＢk＞２^kかつＡkＣk＋Ａk＋Ｃk＝２^kのとき

　　ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋［（４／３）^k］＋２^k−２

［３］Ａk＋２^kＢk＞２^kかつＡkＣk＋Ａk＋Ｃk＞２^kのとき

　　ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋［（４／３）^k］＋２^k−３

が成り立ちます．ただし，［２］，［３］の条件を満たすｋはまだひとつも見つかっておらず，ｋ≦４７１６×１０^5のときはすべて［１］の条件を満たすとのことです．

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［補］　３^k＝ｑ２^k＋ｒ，０＜ｒ＜２^k

であるが，

　　ｒ≦２^k−ｑ

の仮定の下に

　　ｇ（ｋ）＝２^k＋［（３／２）^k］−２

が証明されていることに注意．

　しかし，この仮定はすべてのｋに対して成り立つわけではない．６≦ｋ≦４００については証明されているが，高々有限個のｋについては誤りであることがわかっている．

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