［１］超平面

　原点を中心とするｎ次元超立方体[-1/2,1/2]^nと原点を通る任意のｎ次元超平面：Ｈ（ａ）

　　ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn＝０

の交わり（切り口の体積）について考えてみましょう．

　その前に，まず，ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　ａｘ’＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０で，その場合，原点を中心とするｎ次元超立方体と超平面ａｘ’＝０は必ず交わります．

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．

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［２］ボールの定理

　原点を通り，ａに直交する超平面がＨ（ａ）なのですが，ａの成分は，

　　０≦ａ1≦ａ2≦・・・≦ａn

を満たすものとしても一般性を失われません．もし，ａkが負ならば，ｘk軸の向きを逆にすることにより，ａkは正となるからです．

　このとき，Ｈ（ａ）によるｎ次元単位立方体の切り口の体積は

　　Ｖn（ａ）＝1/π∫(-∞,∞)Πsinc(ａkｘ)dx

と表されます（ボールの定理，1986年）．この定理は，主として確率論的議論によって証明されるということです．　

　また，同じく，ボールによって

　　１≦Ｖn（ａ）≦√２

であることも証明されています（ボールの不等式）．

　ボールの不等式は「１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．」ことをもっと高次元化しても成り立つことを主張するものです．→コラム「高次元の球と立方体の断面積」

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