■三角形のＮ心（その２）
【１】フェルマー点
ユークリッドは三角形の中心と呼べる点を４つ（内心，重心，外心，垂心）知っていたらしいのですが，これ以外にも中心はいろいろあります．
微分積分の入門書に「平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある．この平面上に点Ｐをとって，ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2が最小になるようにせよ」という問題が偏導関数の応用例として載せられています．その点Ｐは重心です．３定点が４定点であっても，同じ議論になるのですが，距離の２乗の和に特に具体的な意味があるようには思えません．むしろ，２乗を取り去ったほうが問題としては自然です．
そこで，「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．
この問題は１７世紀のフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリに出題したものとして有名な問題で，求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．
このフェルマー点は頂点と外正三角形の頂点を結ぶ直線の共点として得られます．すなわち，フェルマー点を見つけるには与えられた三角形の各辺の上に正三角形を立てて各頂点と結ぶと，これら３本の線は１点Ｆで交わり∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立ちます．また，フェルマー点は３つの正三角形の外接円の交点でもあります．
このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．
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【２】ナポレオン点
数学が得意だったフランス皇帝ナポレオンが若い頃に発見したと伝えられている定理が，ナポレオンの定理「任意の三角形の各辺の外側に正三角形を作ったとき，それらの重心を結ぶと正三角形が得られる」です．
三角形の各辺の内側に正三角形を作ったときも，それらの重心を結ぶと正三角形が得られます．これらの２つの正三角形の重心は一致し，その面積の差は最初の三角形の面積に等しくなります．
ナポレオン点は，頂点と外正三角形の中心を結ぶ直線の共点として得られます．一方，第２ナポレオン点は頂点と内正三角形の中心を結ぶ直線の共点として得られます．フェルマー点・ナポレオン点・外心は同一直線上にあり，フェルマー点・第２ナポレオン点・フォイエルバッハの９点円の中心は同一直線上にあります．
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【３】その他の共点・共線
［１］ド・ロンシャン点
外心に対する垂心の対称点をド・ロンシャン点と呼びます．△ＡＢＣの各頂点を通って対辺に平行な直線を引き，その交点をＧ，Ｈ，Ｉとします．△ＧＨＩを大三角形と呼ぶことにすると，両者の重心とオイラー線は一致します．もとの三角形の垂心は大三角形の外心に，外心は９点円の中心に，ド・ロンシャン点は垂心になります．
このことが３本の垂線が１点で交わる証明にもなっています．ついでながら，△ＡＢＣの各辺の中点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，△ＡＢＣの内心は△ＤＥＦの外心となっていることを申し添えておきます．
［２］ジォルゴンヌ点とナーゲル点
△ＡＢＣの内接円が３辺に接する点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，チェバの定理により，それと向かい合う頂点とを結ぶ３本の直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で交わります．この点をジォルゴンヌ点といいます．
また，△ＡＢＣの傍接円が３辺に接する点をＸ，Ｙ，Ｚとすると，３直線ＡＸ，ＢＹ，ＣＺは１点で交わります．この点がナーゲル点です．
三角形ＡＢＣ内の点Ｐに対し，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの延長が対辺と交わる点をＸ，Ｙ，Ｚとします．このとき各辺の中点に関するＸ，Ｙ，Ｚの対称点をＸ’，Ｙ’，Ｚ’とすると，チェバの定理により３直線ＡＸ’，ＢＹ’，ＣＺ’は１点Ｑで交わります．このようにしてできる２点Ｐ，Ｑを互いに他の等長共役点と呼びます．ジォルゴンヌ点とナーゲル点は典型的な等長共役点の例ですし，重心は自己等長共役点です．
［３］ナーゲル線
内心，重心，ナーゲル点はこの順に１直線上にあり，相互の間隔が１：２です．これはオイラー線「外心，重心，垂心がこの順に１直線上に載っていて，間隔が１：２である」ことのアナローグです．
［４］ソディー線
ジォルゴンヌ点，内心，ド・ロンシャン点は一直線上にあり，オイラー線とはド・ロンシャン点で交わります．
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