ｘ^2＋ｘ＋４１＝０

はｘ＝０のとき素数４１，ｘ＝１で素数４３，ｘ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｘが０から３９までのどのｘをとってもこの式はすべて素数を与えます（オイラー，１７７２年）．

　４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１

ｘ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

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【１】ベイカー・スタークの定理

どういう負の数−ｄを使った整数環Ｚ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体の部分集合となる整数環Ｚ（√−ｄ）

　　ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．１９６６年，アメリカのスタークとイギリスのベイカーは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのです．ただし，最初の２つ以外ではーｄ＝１（ｍｏｄ４）なので，半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があります．

｛ａ＋ｂ√−ｄ｜Ｚ，Ｚ＋１／２｝

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ずいぶん以前からこの９個の数は知られていたのですが，１０番目の数が存在するかもしれない・・・というまどろっこしい状態が続いていました．

１９５２年，ヘーグナーは１世紀以上も未解決だった９個ですべてだというガウスによる予想を証明しているのですが，彼は高校の教師で研究者として部外者であり，その証明を標準的な手法で書かなかったため，長らく間違ったものとみなされていました．

ところが，１９６６年，ベーカーとスタークが独立に世界中を納得させる証明を与えたのを契機に，ヘーグナーの証明がはじめて注意深く吟味され，その証明が本質的には正しいことが明らかになりました．それは不正確であるとして無視されたヘーグナーの証明の誤りを払拭するものでもありました．これでヘーグナーに対する批評が公正でないことが明らかになったのですが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．現在，９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はヘーグナー数と呼ばれています．

また，１９６８年，ドイリングはヘーグナーの証明を修正することに成功しましたが，既にそのときはベイカー，スタークに先を越されていて遅きに失した状況にありました．

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