■ディオファントス方程式(その16)

 a=F2k-1,b=F2k+1,d=L2k,c=abd

 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)

=(a+b+abd)(bd+ad+1)/abd

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【1】フィボナッチ数とリュカ数

 an=an-1+an-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

  x^2−x−1=0

の2根を

  α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2

とおくと,フィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の一般項は,

  Fn =1/√5(α^n−β^n)   (n:0~)

 リュカ数列

  2,1,3,4,7,11,・・・

の一般項は

  Ln=α^n+β^n   (n:0~)

で表されます.

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【2】カッシーニの等式

  α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2

とおくと,フィボナッチ数

  fn=1/√5{α^n−β^n}

とリュカ数

  Ln=α^n+β^n

に対して,関係式(カッシーニの等式)

  Fn+1Fn-1−Fn^2=−(−1)^n

  Ln+1Ln-1−Ln^2=5(−1)^n+1

が示されます.

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【3】ナイトの問題

  a=f2k-1=1/√5・{α^2k-1−β^2k-1}

  b=f2k+1=1/√5・{α^2k+1−β^2k+1}

=1/√5・{{α^2k-1−β^2k-1}{α^2+β^2}+α^2β^2k-1−α^2k-1β^2}

ここで

  α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2,αβ=−1

  α^2=(6+2√5)/4,β^2=(6−2√5)/4

  α^2+β^2=3

より

  b=f2k+1=1/√5・{α^2k+1−β^2k+1}

=1/√5・{3/2{α^2k-1−β^2k-1}+√5/2{α^2k-1+β^2k-1}}

=3a/2+1/2L2k-1

  L2k=α^2k+β^2k=a+b

であるが、L2k-1をa,bで表すのは難しい。

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