【３】フィボナッチ数とリュカ数

　ａn＝ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２根を

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の一般項は，

　　Ｆn ＝１／√５（α^n−β^n）　　　（n:0~)

　リュカ数列

　　１，３，４，７，１１，・・・

の一般項は

　　Ｌn＝α^n＋β^n　　　（n:0~)

で表されます．

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【４】カッシーニの等式

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数

　　ｆn＝１／√５｛α^n−β^n｝

とリュカ数

　　Ｌn＝α^n＋β^n

に対して，関係式（カッシーニの等式）

　　Ｆn+1Ｆn-1−Ｆn^2＝−（−１）^n

　　Ｌn+1Ｌn-1−Ｌn^2＝５（−１）^n+1

が示されます．

［１］フィボナッチ数を足しあせると，

　　Ｆ1＋Ｆ2＋・・・＋Ｆn

＝（Ｆ3−Ｆ2）＋（Ｆ4−Ｆ3）＋・・・＋（Ｆn+1−Ｆn-1）

＝Ｆn+1−Ｆ2＝Ｆn+1−１

　　Ｆ2＋Ｆ4＋・・・＋Ｆ2n

＝Ｆ1＋（Ｆ2＋Ｆ3）＋・・・＋（Ｆ2n-2＋Ｆ2n-1）

＝Ｆ2n+1−１

　　Ｆ1＋Ｆ3＋・・・＋Ｆ2n-1

＝Ｆ1＋（Ｆ1＋Ｆ2）＋・・・＋（Ｆ2n-2＋Ｆ2n-1）

＝Ｆ2n−１＋Ｆ1＝Ｆ2n

［２］２乗和

　　Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋・・・＋Ｆn^2＝ＦnＦn+1

は，１辺の長さがフィボナッチ数の正方形をらせん状に配列すると，長方形ができるという図式説明がなされる．

［３］Ｆn^2−Ｆn-1Ｆn+1＝（−１）^n

　　　Ｆn^2−Ｆn-rＦn+r＝（−Ｆr）^n

は，４ピースからなる８×８の正方形を並べ替えると５×１３の長方形になるという有名なパラドックスのタネである．

［４］Ｆ3n＝０　　（ｍｏｄ２）

　　　Ｆ4n＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　Ｆ5n＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　Ｆ6n＝０　　（ｍｏｄ８）

　　　Ｆ7n＝０　　（ｍｏｄ１３）

すなわち，フィボナッチ数はｎ個おきに，Ｆnの倍数になる．

［５］（Ｆn，Ｆn+1）＝１

　　　ＧＣＤ（Ｆn，Ｆn+1）＝ＦGCD(FM,FN)

［６］Ｆn+1／Ｆn　→　τ

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