初項１，第２項３の一般化されたフィボナッチ数列

１，３，４，７，１１，１８，・・・

はフランスの数学者リュカにちなんでリュカ数列と呼ばれています（１８７７年）．リュカ数列の一般項Ｌn は，

Ｌn ＝｛（１＋√５）／２｝n ＋｛（１−√５）／２｝n

　　＝｛φn ＋（−１／φ）n ｝

（Ｌ0 ＝２：φ＝（１＋√５）／２）

で表され，Ｌn ＝Ｆn-1 ＋Ｆn+1 の関係があります．リュカ数列はフィボナッチ数列と同じ漸化式をもち，連続する２つの項の比は黄金比に近づきます．

Ｌ2n ＝Ｆ2n-1 ＋Ｆ2n+1

が成り立ちますが、これと関係するディオファントス方程式（Knightの問題）を紹介します。

［Ｑ］所与のｎについて，

（ｂ＋ｃ）／ａ＋（ｃ＋ａ）／ｂ＋（ａ＋ｂ）／ｃ＝ｎ

の自然数解（ａ，ｂ，ｃ）を求めよ．

［A］両辺にａ／ａ＋ｂ／ｂ＋ｃ／ｃ＝３を加えると

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）＝ｎ＋３

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