■ディオファントス方程式(その6)

【2】合同式

[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,mは6の倍数で,n<100という制限をつけて,mを求めてみよ.

m=6k

m(m+1)(2m+1)/6=k(6k+1)(12k+1)=n^2

k,6k+1,12k+1はどの2つも互いに素であるから,すべて平方数であるようなkをみつければよい.

  k(6k+1)(12k+1)=n^2<10000→k≦16

k    =1,4,9,16

6k+1 =7,25,55,97

12k+1=13,49,99,193

k=4,6k+1=25,12k+1=49→m=24,n=70

===================================

[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,m=6k+3のとき,nは存在しないことを示せ.

m=6k+3

m(m+1)(2m+1)/6=(2k+1)(3k+2)(12k+7)=n^2

2k+1,3k+2,12k+7はどの2つも互いに素であるから,すべて平方数であるようなkは存在しないことを示されればよい.→少なくともひとつは平方数でないことが示されればよい.

 3k+2は平方数でないことは,

m=3k→m^2=3(3k^2)

m=3k+1→m^2=3(k^2+2k)+1

m=3k−1→m^2=3(k^2−2k)+1

より証明されます.

===================================

[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,m=6k+2のとき,nは存在しないことを示せ.

m=6k+2

m(m+1)(2m+1)/6=(3k+1)(2k+1)(12k+5)=n^2

12k+5=2  (mod3)

===================================

[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,m=6k+4のとき,nは存在しないことを示せ.

m=6k+4

m(m+1)(2m+1)/6=(3k+2)(6k+5)(4k+3)=n^2

3k+2=2  (mod3)

===================================

[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,m=6k+5のとき,nは存在しないことを示せ.

m=6k+5

m(m+1)(2m+1)/6=(6k+5)(k+1)(12k+11)=n^2

6k+5=2  (mod3)

これでm=6k,6k+1の場合だけになったが,これを続けていくと,1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2が成り立つとき,m=0,1(mod24)であることが示されている.

===================================