先頭の数字がどのような確率で出現するかを考えましょう．単純に各数字（０〜９）の出現確率が同じと考えれば，同じ確率１／９で現れるはずですが，実際には１から始まる数値が圧倒的に多く３０％くらいもあります．たとえば，簡単な例として，２のベキ乗２^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと

　　２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，１０２４，２０４８，・・・

　　→２，４，８，１，３，６，１，２，５，１，２，・・・

となっているのですが，倍にした数が９で始まるためには，その前の数字が４５−４９で始まっていなければなりません．それに対して，５−９で始まる数はどれも倍にすると１で始まる数になります．

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【１】ベンフォードの法則

　１９３８年，ＧＥの物理学者ベンフォードは対数表の対数表の最初が残りの部分よりもひどく汚れていることに気づき，「１ではじまる数が多いのはなぜか」という問題に説明を与えました．

それによるとして，０でない先頭の数字がｄになる確率は，ｎ→∞のとき，

　　　　Ｐ（ｄ）＝ｌｏｇ10（１＋１／ｄ）

に収束することが知られています．

　　ｄ＝１→Ｐ＝０．３０１　　　ｄ＝６→Ｐ＝０．０６７

　　ｄ＝２→Ｐ＝０．１７６　　　ｄ＝７→Ｐ＝０．０５８

　　ｄ＝３→Ｐ＝０．１２６　　　ｄ＝８→Ｐ＝０．０５１

　　ｄ＝４→Ｐ＝０．０９７　　　ｄ＝９→Ｐ＝０．０４６

　　ｄ＝５→Ｐ＝０．０７９

最大桁の頻度は１が一番高く逆に，９から始まる数値は４．５％程度まで落ちるのです．

自然に発生するデータの数値では１で始まる数が多い，すなわち，一様分布するのではないというのがベンフォードの法則（１９３８年）です．その確率は何と３０％にもなるというわけです．０は最上位桁にはなれないので，一様に分布するのであれば１／９＝１１％のはずですから，はるかに多い割合です．このことは計算尺を見れば１で始まる数が全体の約３０％を占めることとまったく同じであることがわかります．

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