■調和数の整除性(その8)

【8】補足

一般に,pを素数,kをp−1で割り切れない正の整数とするとき,

  1+1/2^k+1/3^k+・・・+1/(p−1)^k

の分子はpで割り切れる

 =1+2^k+3^k+・・・+(p−1)^k

がpで割り切れることが示されています.すなわち,

  1+1/2^k+1/3^k+・・・+1/(p−1)^k=0  (mod p)

  1+2^k+3^k+・・・+(p−1)^k=0  (mod p)

ですが,前節では

  1+1/2^k+1/3^k+・・・+1/(p−1)^k

 =1+2^k+3^k+・・・+(p−1)^k  (mod p)

であることを証明なしに用いました.

 これは,

  1=1,1/2^k=2^k,1/3^3=3^k,・・・,1/(p−1)^k=(p−1)^k  (mod p)

という意味ではありません.各逆数1/1,1/2^k,・・・,1/(p−1)^k  (mod p)は,すべての剰余1,2^k,・・・,(p−1)^k  (mod p)をきっかり1回だけ覆うという意味で,再配列によって

  1+1/2^k+1/3^k+・・・+1/(p−1)^k

 =1+2^k+3^k+・・・+(p−1)^k  (mod p)

となるのです.

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