【７】ウォルステンホルムの定理の別証明とモジュラー算術

　（ｐ−１）！とｐは互いに素であるから

　　Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））

がｐ^2で割り切れることと

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

は同値である．

　ｍｏｄ算術を扱う場合，１／２のような数はある整数と同値である．たとえば，

　　１／２＝６／２＝３　　（ｍｏｄ　５）

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋１３＋１７＋１９＝０　　（ｍｏｄ　２５）

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素数による整除性の問題に帰着させてより解きやすいものにしたい．そこでまず

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明する．

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋３＋２＋４＝０　　（ｍｏｄ　５）

であるが，

　　４＝−１，３＝−２　　（ｍｏｄ　５）

を使えば，

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１−２＋２−１＝０　　（ｍｏｄ　５）

同様に，

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明することができる．

　次に，１／１と１／（ｐ−１），１／２と１／（ｐ−２），・・・をペアに組ませると

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

　＝１＋１／（ｐ−１）＋１／２＋１／（ｐ−１）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋１／（（ｐ＋１）／２）

　＝ｐ（１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２）　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

　したがって，

　１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから，

　１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つことを示せばよい．

　１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｐ−１）^2＝（ｐ−１）ｐ（２ｐ−１）／６＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

となって証明了．

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