■調和数の整除性(その4)

【4】ウォルステンホルムの定理

p>3が素数ならば

  1+1/2+1/3+・・・+1/(p−1)

の分子はp^2で割り切れることを証明せよ(ウォルステンホルムの定理,1862年).

===================================

(証)たとえば,p=5のとき,この分数は25/12となり,その分子はp^2で割り切れる.この問題は素数pによる整除性ではなく,素数の平方p^2による整除性なので難しい問題である.

1+1/2+1/3+・・・+1/(p−1)を通分すれば,分母は(p−1)!である.ウィルソンの定理より

  (p−1)!=−1  (mod p)

であるから分母はpで割り切れない.したがって,

  S=(p−1)!(1+1/2+1/3+・・・+1/(p−1))

がp^2で割り切れることを証明すればよいことになる.

 Sは1,2,・・・p−1からp−2個とったあらゆる組合せの積の和である.そこで

  F=(x−1)(x−2)・・・(x−p+1)

   =x^p-1−A1x^p-2+・・・−Ap-2x+Ap-1

と書けば,根と係数の関係より

  Ap-1=(p−1)!

  Ap-2=(p−1)!(1+1/2+1/3+・・・+1/(p−1))

 x=pとおけば

  (p−1)!=p^p-1−A1x^p-2+・・・−Ap-2p+Ap-1

  p^p-2−A1p^p-3+・・・+Ap-3p−Ap-2=0

 S=Ap-2であるから,ここでp|A1,p|A2,・・・,p|Ap-2がいえれば,p>3のときp^2|Ap-2.

  p|pCk   (k:1~p-1)

であるから,A1〜Ap-1を2項係数で表すことができればp|A1,p|A2,・・・,p|Ap-2がいえたことになる.

  xF=x(x−1)(x−2)・・・(x−p+1)

    =x^p−A1x^p-1+・・・−Ap-2x^2+Ap-1x

xをx−1で置き換えれば

  (x−1)^p−A1(x−1)^p-1+・・・−Ap-2(x−1)^2+Ap-1(x−1)

 =(x−1)(x−2)・・・(x−p+1)(x−p)

 =(x−p)(x^p−A1x^p-1+・・・−Ap-2x^2+Ap-1)

 ここでx^kの係数を比べると

  A1=pC2,

  2A2=pC3+p-1C2・A1,

  3A3=pC4+p-1C3・A1+p-2C2・A2,

  (p−1)Ap-1=1+A1+A2+・・・+Ap-2

===================================