■階乗の整除性(その2)

[Q]1000!/10^250は整数であるか?

[A]同様にして,

  e5(1000!)=[1000/5]+[1000/5^2]+[1000/5^3]+[1000/5^4]=200+40+8+1=249

 10の倍数は249個.したがって,1000!/10^249は整数であるか,1000!/10^250は整数とはならない.実は(10^r)!末尾の0の個数は

r=1  2

r=2  24

r=3  249

r=4  2499

r=5  24999

r=6  249998

r=7  2499999

r=8  24999999

r=9  249999998

r=10  2499999997

となって微妙に揺らぐが,

[(10^r)/5]+[(10^r)/5^2]+[(10^r)/5^3]+・・・<2.5×10^r-1となる.

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