【５】フィボナッチ数の三項関係式・四項関係式

フィボナッチ数の連続する３項には奇妙な関係があります．

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n　　（カッシーニの等式）

たとえば，５，８，１３の場合は５・１３＝８^2＋１で，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかになります．

４ピースからなる８×８の正方形を並べ替えると５×１３の長方形になり，いつのまにか面積が１だけ増えているというパズルがありますが，このパズルのタネとなっているのかこの関係式です．「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルですが，このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．

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連続する４項にもピタゴラス三角形と関係する奇妙な関係があります．任意の連続する４項を

　　ａ，ｂ，ｃ，ｄ

とすると，

　　（ａ・ｄ）^2＋（２ｂ・ｃ）^2＝（ｂ^2＋ｃ^2）^2

が成り立つ．

［証］

ｃ＝ａ＋ｂ→ａ＝ｃ−ｂ

　ｄ＝ｂ＋ｃ

ａ，ｄを消去すると

　（ａｄ）^2＝（ｃ^2−ｂ^2）^2であるから

　（ｃ^2−ｂ^2）^2＋（２ｂｃ）^2＝（ｂ^2＋ｃ^2）^2

　この関係式はすべてのピタゴラスの三つ組みを生み出すわけではないが，無限個のピタゴラスの三つ組みを生み出してくれる．たとえば，ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝２，ｄ＝３→３^2＋４^2＝５^2

　２，３，５，８の場合

［１］外側の２数の積：２・８

［２］内側の２数の積の２倍：２・３・５

［３］内側の２数の平方和：３^2＋５^2＝３４

　１６^2＋３０^2＝３４^2

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