【９】ｍｏｄ３の世界

前項では二項係数の偶奇性に関するリュカの定理を紹介したが，係数が２で割り切れない場合にそのときセルを黒くする代わりに，係数が３で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする整除性も考えられる．

　　nCk＝０　　（ｍｏｄ３）→白

　　nCk＝１　　（ｍｏｄ３）→黒

　　nCk＝２　　（ｍｏｄ３）→灰色

ｎ，ｋを３進数で表す．たとえば，11Ckでは

　　１１＝１０２(3)

［１］このとき，11Ck＝０　　（ｍｏｄ３）となるｋは

　　ｋ＝３，４，５，６，７，８

で，３進数表記では

　　３＝０１０(3)

　　４＝０１１(3)

　　５＝０１２(3)

　　６＝０２０(3)

　　７＝０２１(3)

　　８＝０２２(3)

で，１１＝１０２(3)と同じ桁で大小逆転が起こっている．

［２］11Ck＝１　　（ｍｏｄ３）となるｋは

　　ｋ＝０，２，９，１１

で，３進数表記では

　　０＝０００(3)

　　２＝００２(3)

　　９＝１００(3)

　１１＝１０２(3)

［３］11Ck＝２　　（ｍｏｄ３）となるｋは

　　ｋ＝１，１０

で，３進数表記では

　　１＝００１(3)

　１０＝１０１(3)

　［２］と［３］では１１＝１０２(3)と同じ桁で大小逆転が起こらないが，両者の違いをどのようにして決定できるだろうか？　結論を先にいうと［３］ではある桁で

　　２

　　１

が起こっている．その個数が偶数か奇数かを使って判別できるのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　リュカの定理（ｍｏｄ２）のｍｏｄ３版であるが，

［１］３進数表示のｎとｋの同じ桁で大小逆転が起こっている場合，

　　nCk＝０　　（ｍｏｄ３）となる

［２］大小逆転が起こらず，

　　２

　　１

の個数が偶数の場合，

　　nCk＝１　　（ｍｏｄ３）となる

［３］大小逆転が起こらず，

　　２

　　１

の個数が奇数の場合，

　　nCk＝２　　（ｍｏｄ３）となる

　64C30

　　６４＝２０２２(3)

　　３０＝１０１０(3)

より，64C30＝１　　（ｍｏｄ３）

　14C10＝１００１

　　１４＝１１２(3)

　　１０＝１０１(3)

より，14C10＝２　　（ｍｏｄ３）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１０】ｍｏｄ４，ｍｏｄ５の世界

係数が３で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，係数が４で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，係数が５で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，・・・という作業を続けた場合も左右対称なモザイク模様が現れるが，黒の面積は増え，モザイク模様はより単純化する傾

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝