【５】補足

［１］ワイエルシュトラスの標準形

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

はｘを１次変換しｙを定数倍すると

　　ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3

　　ｇ2＝3√４／３（λ^2−λ＋１）

　　ｇ3＝１／２７（λ＋１）（２λ^2−５λ＋２）

に変形できます．

　　ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3

　　ｊ＝１７２８ｇ2^3／（ｇ2^3−２７ｇ3^2）

をワイエルシュトラスの標準形といいます．ｇ2^3−２７ｇ3^2≠０は重根をもたないための条件です．

［２］ヘッセの標準形

　非特異３次曲線は９個の変曲点をもつ．そのひとつを（０，１，０）とし，そこでの接線がｚ＝０となるように射影座標をとると，ワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2ｚ＝４ｘ^3−ｇ2ｘｚ^2−ｇ3ｚ^3

の形にできる．

　さらに，９個の変曲点が

　　（−１，ω^i，０），（−１，０，ω^i），（０，−１，ω^i）

　　　　ωは１の虚数立方根，i=0,1,2

となるような射影座標をとると，ヘッセの標準形

　　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３λｘｙｚ＝０

に正規化することができる．

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