【３】超階乗関数

最初のｎ個の階乗の積をスーパー階乗関数

　　Ｐn＝Πｋ！

とする．同様に，ハイパー階乗関数を

　　Ｑn＝Πｋ^k＝１・２^2・・・ｎ^n

二項係数の積を

　　Ｒn＝ΠnCk

とすると，これらの関係は

　　Ｒn＝（ｎ！）^n+1／Ｐn^2＝Ｑn／Ｐn＝Ｑn^2／（ｎ！）^n+1

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（Ｑ）Ｐ2n／Ｐn^4＝（ｎ＋１）！・・・（２ｎ）！／｛１！・２！・・・ｎ！｝^3

は整数であることを証明せよ．

（Ａ）条件をきつくしたＰ2n／Ｐn^4（ｎ＋１）が整数であることを帰納法でいえばよい．

　ｎ＝１のとき，Ｐ2／Ｐ1^4・２＝１

　ｎ＝ｋのとき，

Ｐ2k／Ｐk^4（ｋ＋１）＝（ｋ＋１）！・・・（２ｋ）！／｛１！・２！・・・ｋ！｝^3（ｋ＋１）が整数であるとする．

Ｐ2k+2／Ｐk+1^4（ｋ＋２）＝（ｋ＋２）！・・・（２ｋ＋２）！／｛１！・２！・・・（ｋ＋１）！｝^3（ｋ＋２）

＝（ｋ＋１）！・・・（２ｋ）！／｛１！・２！・・・ｋ！｝^3（ｋ＋１）

（２ｋ＋１）！（２ｋ＋１）！／（ｋ＋１）！（ｋ＋１）！｝^3／（ｋ＋２）

＝Ｐ2k／Ｐk^4（ｋ＋１）・（２ｋ＋１）！（２ｋ＋２）！／（ｋ＋１）！｛（ｋ＋１）！｝^3・（ｋ＋１）／（ｋ＋２）

＝Ｐ2k／Ｐk^4（ｋ＋１）・（２ｋ＋２）！（２ｋ＋２）！／２（ｋ＋２）｛（ｋ＋１）！｝^4

＝Ｐ2k／Ｐk^4（ｋ＋１）・｛（２ｋ＋２）！｝^2／２（ｋ＋２）｛（ｋ＋１）！｝^4

　ここで，

（２ｋ＋２）！｝^2／｛（ｋ＋１）！｝^4は整数

｛（２ｋ＋２）！｝^2／２（ｋ＋２）｛（ｋ＋１）！｝^4も整数　　（ＱＥＤ）

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