■オイラー・マクローリンの和公式(その3)

 1730年,スターリングはn!の近似公式

  n!〜√(2πn)n^nexp(−n)

を示しました.”〜”記号は漸近的に等しい、すなわちnが十分大きいとき両者の比が1に近づくという意味であって、両者の差がなくなるという意味ではありません.

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  ln(n!)〜nlnn−n+1/2・ln(2πn)

[1]n=70のとき,右辺は230.438

一方,ln(10^100)=100ln(10)=230.259

70!>10^100

[2]n=25206のとき,右辺は230258.7

一方,ln(10^1000000)=1000000ln(10)=230259

 しかし,実際は

  25206!>10^1000000

であるが,誤差はあっても小さいことがおわかりいただけるであろう.

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