【１】オイラー・マクローリンの和公式（１）

　　　Σｌｏｇｋ

について考えてみる．

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　　ｆ（ｘ）＝ｌｏｇｘ ｆ^(5)（ｘ）＝２４／ｘ^5

　　ｆ’（ｘ）＝１／ｘ 　　ｆ^(6)（ｘ）＝−１２０／ｘ^6

　　ｆ”（ｘ）＝−１／ｘ^2 ｆ^(7)（ｘ）＝７２０／ｘ^7

　　ｆ^(3)（ｘ）＝２／ｘ^3 ｆ^(8)（ｘ）＝−５０８０／ｘ^8

　　ｆ^(4)（ｘ）＝−６／ｘ^4 ｆ^(9)（ｘ）＝４０６４０／ｘ^9

より，

　　ｆ^(k)（ｘ）＝(-1)^k-1（ｋ−１）！／ｘ^k

　　ｆ^(2k-1)（ｘ）＝（２ｋ−２）！／ｘ^2k-1

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　　Σ(1,n)logk〜∫(1,n)logxdx-(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

　　∫(1,n)logxdx=[xlogx]-∫(1,n)dx=nlogn-n+1

　　(f(n)+f(1))/2=logn/2

　　(f'(n)-f'(1))/12=1/12･(1/n-1)

　　(f^(3)(n)-f^(3)(1))/720=(2/n^3-2)/720

　　(f^(5)(n)-f^(5)(1))/30240=(24/n^5-24)/30240

　　(f^(7)(n)-f^(7)(1))/1209600=(720/n^7-720)/1209600

　　B2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))=B2k/(2k)!（２ｋ−２）！（１／ｘ^2k-1−１）→-B2k/(2k)(2k-1)

より

　　Σlogk〜(n+1/2)･logn-n+C

　　C=1-1/12+1/360-1/1260+1/1680--･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝１／２・ｌｏｇ２π＝−ζ’（０）

で与えられる．スターリングの公式はリーマンの結果（ゼータ正規化積）

　　Πｎ＝√（２π）

と同値である．という解釈を与えることができる．さらに，これは

　　ζ’（０）＝−１／２ｌｏｇ（２π）

とも同値であるというわけである．

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