■リュカの問題の初等的証明(その20)

ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]

[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1

(c,a)=(7,2)

(c,b)=(1,1)

(b,a)=(5,2)

m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか?

===================================

an^2−6bn^2=−1

が成り立つ最小解は(a,b)=(5,2)であることから,

  (1+√6)^n=an+bn√6

  (1−√6)^n=an−bn√6

を満足させるような整数列{an},{bn}を考えます.これらの数列は

  an^2−6bn^2=(1)^n

となる関係式で結ばれていて,

  an/bn→ √6

ですから,√6に最も近い最良近似分数を与えることがわかります.

しかし、符号が交互に代わるため

  an+1+bn+1√6=(1+√6)^n(an+bn√6)

          =(an+6bn)+(an+bn)√2

より

  an+1=an+6bn,bn+1=an+bn

  an+1=an+6bn=an+6(an-1+bn-1)

 =an+5an-1+(an-1+6bn-1)=2an+5an-1

  bn+1=an+bn=(an-1+6bn-1)+bn

 =(an-1+bn-1)+5bn-1+bn=2bn+5bn-1

これより,

  an+1=2an+5an-1,bn+1=2bn+5bn-1

 

(a1,b1)=(5.2)

(a2,b2)=(16,7)

(a3,b3)=(57,24)

(a4,b4)=(194,83)

(a5,b5)=(673,286)

===================================

α,βを2次方程式x^2−2x−5=0の根1±√6として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

===================================

[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1

の解は(a,b,c)=(2,5,7)だけと考えてもよさそうな結果である。

===================================