［Ｑ］３辺の長さが整数d,e,fの三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点とそれらを結ぶ線分の交角はすべて120°で、それぞれａ、ｂ、ｃの整数距離にあった．

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　３辺が整数で、そのフェルマー点から３頂点への距離もすべて整数の三角形はあるか？という問題である。

→無限にあるらしい。ただし、その最小のものは

　　d=195.e=264,f=325

　　a=511,b=455,f=399

で、数値はかなり大きい。

これを効率よく計算する方法はあるだろうか？

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ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

より、m=[2,10],n=[1,9]の範囲で(a,b)=(m^2-n^2,2mn+n^2)を用意する。

そこから２組(a1,b1),(a2,b2)を抽出。(*)

a1とa2の最小公倍数Lを計算する.

Lが500を超えたら別の2組を選びなおす。(*)に戻る

そうでない場合は

(L, Lb1/a1),(L,Lb2/a2)において

（Lb1/a1)^2+（Lb1/a1)（Lb2/a2)+（Lb2/a2)^2の平方根が整数であるかどうかを判定する

整数でない場合は(*)に戻る

整数の場合は(L, Lb1/a1),(L,Lb2/a2)を出力する→解決

解は

　　d=195.e=264,f=325

　　a=511,b=455,f=399

のみ。また、以下の計算には解がないことを阪本ひろむ氏に確認してもらった

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ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

より、m=[2,10],n=[1,9]の範囲で(a,b)=(m^2-n^2,2mn+n^2)を用意する。

そこから２組(a1,b1),(a2,b2)を抽出。(*)

a1とb2の最小公倍数Lを計算する.

Lが500を超えたら別の2組を選びなおす。(*)に戻る

そうでない場合は

(L, Lb1/a1),(La2/b2,L)において

（Lb1/a1)^2+（Lb1/a1)（La2/b2)+（La2/b2)^2の平方根が整数であるかどうかを判定する

整数でない場合は(*)に戻る

整数の場合は(L, Lb1/a1),(La2/b2,L)を出力する

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ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

より、m=[2,10],n=[1,9]の範囲で(a,b)=(m^2-n^2,2mn+n^2)を用意する。

そこから２組(a1,b1),(a2,b2)を抽出。(*)

b1とa2の最小公倍数Lを計算する.

Lが500を超えたら別の2組を選びなおす。(*)に戻る

そうでない場合は

(La1/b1, L),(L,Lb2/a2)において

（La1/b1)^2+（La1/a1)（Lb2/a2)+（Lb2/a2)^2の平方根が整数であるかどうかを判定する

整数でない場合は(*)に戻る

整数の場合は(L, Lb1/a1),(L,La2/b2)を出力する

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ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

より、m=[2,10],n=[1,9]の範囲で(a,b)=(m^2-n^2,2mn+n^2)を用意する。

そこから２組(a1,b1),(a2,b2)を抽出。(*)

b1とb2の最小公倍数Lを計算する.

Lが500を超えたら別の2組を選びなおす。(*)に戻る

そうでない場合は

(La1/b1, L),(La2/b2,L)において

（La1/b1)^2+（La1/a1)（La2/b2)+（La2/b2)^2の平方根が整数であるかどうかを判定する

整数でない場合は(*)に戻る

整数の場合は(a1/b1, L),(La2/b2,L)を出力する

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