【５】オイラーのL関数

１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

を一般化して，ｓの関数とみるとき，オイラーのL関数

L（ｓ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・

として知られています．オイラーのL関数のオイラー積は

L（ｓ）＝Π（１−(-1)^(p-1)/2・ｐ^-s）^-1　　　（但し，ｐは奇素数を動く．）

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【６】リーマン予想と深リーマン予想

［１］リーマン予想の言い換え

任意のα＞1/2に対し，L(s)のオイラー積はRe(s)=αで収束し，その値はL（ｓ）に等しい

［２］深リーマン予想は，ｓ＝1/2でL(s)のオイラー積は収束し，その値は√２Ｌ（1/2）になるというものである．√２はｓ=1/2のときだけ発生する因子である．

したがって，オイラー積が

［１］ Re(s)>1で絶対収束　⇔　素数が無数に存在する

［２］ Re(s)=1で条件収束　⇔　素数定理

［３］ 1/2［４］ Re(s)=1/2で条件収束　⇔　深リーマン予想

という図式になる．

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