【１】オイラー積

　オイラーの無限級数和Σ１／ｎ^sはｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られています．また，

　　ζ（ｓ）＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・

＝Π（１−ｐ^-s）^-1　　　（但し，ｐはすべての素数を動く．）

と書き換えることができます．

調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示すると，Π（１−１／ｐ）^-1と書けますから，

　　ζ（１）=Π（１−１／ｐ）^-1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】グレゴリー・ライプニッツ級数

１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４　　（グレゴリー・ライプニッツ級数）

は

　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3＋１／５ｘ^5−１／７ｘ^7＋・・・

にｘ＝１を代入すると得られます．

ライプニッツはπ／４がすべての奇数の逆数を交互に加えたり引いたりしてえられる無限級数の和に一致するという事実に対して「神は奇数で楽しむ」と書いていて，この式に自然の神秘の深遠さを感じ，外交官への道から数学の研究の道に転じたといわれています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝