【５】応用問題

ここでは

　　Ｐn＝１／２・３／４・５／６・・・（２ｎ−１）／２ｎ

について，ｎ→�tとしたときの極限について考えてみます．

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　　Ｐn^2＝（１／２）^2・（３／４）^2・（５／６）^2・・・

＝（１・３／２・２）（３・５／４・４）（５・７／６・６）・・・（（２ｎ−１）・（２ｎ＋１）／２ｎ・２ｎ）・・・

＝（２／π）^2

　　Ｐn→２／π

とするのは早合点です．

　　（２ｎ＋１）Ｐn^2→２／π，　　Ｐn→０

が正しいのですが，

　　Ｐ500000＝（１／２）^2・・・・（９９９９９９／１００００００）^2

＝（１・３／２・２）（３・５／４・４）（５・７／６・６）・・・９９９９９９／１０００００・１／１００００００

　（２ｋ−１）（２ｋ＋１）＜４ｋ^2

　　Ｐ500000＜（２，２／２・２）（４，４／４・４）（６・６／６・６）・・・９９９９９９／１０００００・１／１００００００＜１／１００００００＝（１／１０００）^2

より，

　　Ｐ500000＜１／１０００

を示すことができます．

　わずかに強い誤差評価として

　　１／２（２ｎ＋１）＜（２／π）^2Ｐn^2＜１／４ｎ

　　１／π（ｎ＋１／２）＜Ｐn^2＜１／πｎ

　　Ｐn〜１／√（πｎ）

　　√（πｎ）Ｐn→１

なども導かれます．

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