■無限級数(その19)

【3】ウォリスの公式の仲間たち(1)

ζ(2)=Π(1−p-2)-1 =Πp^2/(p^2−1)=π^2/6

オイラー積のp^2を平方数n^2に変えてみると,うまくキャンセルアウトして,無限積は2に収束します.

Πn^2/(n^2−1)=Πn/(n−1)・n/(n+1)

=(2/1・2/3)(3/2・3/4)・・・

=2/1・(2/3・3/2)・(3/4・4/3)・・・→2

これは,ウォリスの公式

Π(2n)^2/(2n−1)(2n+1)

=Π2n/(2n−1)・2n/(2n+1)

=2/1・2/3・4/3・4/5・6/5・6/7・・・=π/2

あるいは

Π2n/(2n−1)・2n/(2n+1)

=Πn/(n−1/2)・n/(n+1/2)

=Γ(1/2)/Γ(1)・Γ(3/2)/Γ(1)=2Γ^2(3/2)=π/2

の仲間と考えることができます.

ウォリスの公式としては

[0] 2/π=Π(2n−1)(2n+1)/2n・2n

=(1・3/2・2)(3・5/4・4)(5・7/6・6)・・・

が有名ですが,その仲間達として,

[1] 3√3/2π=Π(3n−1)(3n+1)/3n・3n

=(2・4/3・3)(5・7/6・6)(8・10/9・9)・・・

[2] 2√2/π=Π(4n−1)(4n+1)/4n・4n

=(3・5/4・4)(7・9/8・8)(11・13/12・12)・・・

[3]5(10−2√5)^1/2/4π=Π(5n−1)(5n+1)/5n・5n

=(4・6/5・5)(9・11/10・10)(14・16/15・15)・・・

[4]3/π=Π(6n−1)(6n+1)/6n・6n

=(5・7/6・6)(11・13/12・12)(17・19/18・18)・・・

なども知られています.

(証明)

 sinx/x=(1−x^2/π^2)(1−x^2/4π^2)(1−x^2/9π^2)・・・

=Π(1−x^2/n^2π^2)

のxに

π/2を代入すると→[0]

π/3を代入すると→[1]

π/4を代入すると→[2]

π/5を代入すると→[3]

π/6を代入すると→[4]が得られる.

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