■無限級数(その18)

【2】オイラー積の仲間たち

 Πp^2/(p^2−1)=π^2/6

に対して,すべての素数をわたる無限積

  Π(p^2+1)/(p^2−1)=5/3・10/8・26/24・50/48・・・=5/2

が成り立つ.

(証)

  Π(p^2+1)/(p^2−1)=Π(p^4−1)/(p^2−1)^2=Π(1−1/p^4)/(1−1/p^2)^2

=ζ(2)^2/ζ(4)

ζ(2)=π^2/6,ζ(4)=π^4/90より

  Π(p^2+1)/(p^2−1)=5/2

 

同様に,

  Π(p^4+1)/(p^4−1)=Π(p^8−1)/(p^4−1)^2=Π(1−1/p^8)/(1−1/p^4)^2

=ζ(4)^2/ζ(8)=109/90

 

 これらより,

  Πp^2/(p^2+1)=ζ(2)ζ(4)/ζ(2)^2=ζ(4)/ζ(2)=π^4/90・6/π^2=π^2/15

  Πp^4/(p^4+1)=ζ(4)ζ(8)/ζ(4)^2=ζ(8)/ζ(4)=π^8/9450・90/π^4=π^4/105

が得られる.

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