【５】絶対収束と条件収束

定理（１）：絶対収束級数は項の順序をどのように変えても絶対収束し，和も変わらない．（ディリクレ）

定理（２）：条件収束級数は項の順序を適当に変えれば，指定された値（±∞でもよい）を和にもつようにも，振動するようにもできる．（リーマン）

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　絶対収束級数は項をどう並び替えても同じ値に収束する．すなわち，有限和のように振る舞い，加法の交換法則は保持されるのである．それに対して，後者はリーマンの再配列定理（リーマンの級数定理）と呼ばれるものである．有限の和ではこのようなことは絶対に起こらないが，無限の和では加法の交換法則が成り立たないような，想像もつかない奇妙なことが起こるのである．交代調和級数が条件収束するということは，逆にいえば，絶対収束しないことを意味している．

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・→　＋∞

　このような級数は項を並び替えれば，好みの実数に収束させることができるというのがリーマンの再配列定理であって，われわれの直観に反する衝撃的な結果をもたらした．

　グレゴリー・ライプニッツ級数

　１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・

も交代級数であり，収束してその値はπ／４になりますが，正の項だけを集めて作った級数

１／１＋１／５＋１／９＋１／１３＋・・・

は収束せず無限大に発散します．

１／１＋１／５＋１／９＋１／１３＋・・・

＞１／４＋１／８＋１／１２＋１／１６＋・・・

＝１／４（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）→∞

より発散は明らかです．負の項だけを集めても同様です．したがって，級数の和の順番は変えてはなりません．

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