【２】無限級数（２）

　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２　　（メルカトール級数）

　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４　　（グレゴリー・ライプニッツ級数）

　それでは，よく知られたこれらの結果に関連して，

［Ｑ］１−１／４＋１／７−１／１０＋・・・＝？

［Ａ］　　Σ｛１／（ｎ＋ｐ／ｑ）−１／（ｎ＋１）｝

＝π／２・ｃｏｔｐπ／ｑ＋ｌｏｇ２ｑ−２Σｃｏｓ２ｐｋπ／ｑ・ｌｏｇｓｉｎｋπ／ｑ　　（０＜ｋ＜ｑ／２）

を用いることにする．

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

は

　１／２・Σ｛１／（ｎ＋１／２）−１／（ｎ＋１）｝

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

は

　　１／４・Σ｛１／（ｎ＋１／４）−１／（ｎ＋１）｝

　−１／４・Σ｛１／（ｎ＋３／４）−１／（ｎ＋１）｝

　　１−１／４＋１／７−１／１０＋・・・＝？

は

　　１／６・Σ｛１／（ｎ＋１／６）−１／（ｎ＋１）｝

　−１／６・Σ｛１／（ｎ＋４／６）−１／（ｎ＋１）｝

と書くことができる．

［Ａ］π／３√３＋１／３・ｌｏｇ２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

このような無限級数は，ＢＢＰ公式

　π＝Σ（４／（８ｎ＋１）−２／（８ｎ＋４）−１／（８ｎ＋５）−１／（８ｎ＋６））（１／１６）^n

と関係している．ＢＢＰ公式は１６進法で表したπのある特定の桁（たとえば１０００兆桁目）の数字を計算するのに使える公式である．

　　Ａ＝１／８ｌｎ（１＋ｚ）／（１−ｚ）

　　Ｂ＝１／２^7/2ｌｎ（１＋√２ｚ＋ｚ^2）／（１−√２ｚ＋ｚ^2）

　　Ｃ＝１／４ａｒｃｔａｎ（ｚ）

　　Ｄ＝１／２^5/2ａｒｃｔａｎ（√２ｚ／（１−ｚ^2））

　　Σｚ^8n+1／（８ｎ＋１）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ

　　Σｚ^8n+3／（８ｎ＋３）＝Ａ−Ｂ−Ｃ＋Ｄ

　　Σｚ^8n+5／（８ｎ＋５）＝Ａ−Ｂ＋Ｃ−Ｄ

　　Σｚ^8n+7／（８ｎ＋７）＝Ａ＋Ｂ−Ｃ−Ｄ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝