■完全数の問題(その6)

  2^p−1  (pは素数)

に対して,簡単な数値実験をしでみよう.

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 pは20未満の素数とすると

p=2  2^2−1=3  (素数)

p=3  2^3−1=7  (素数)

p=5  2^5−1=31  (素数)

p=7  2^7−1=127  (素数)

p=11  2^11−1=2047 (素数)

p=13  2^13−1=8191=23・89  (非素数)

p=17  2^17−1=131071  (素数)

p=19  2^19−1=524287  (素数)

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 2^n×2^n−1=4^n−1=(4−1)(4^n-1+4^n-2+・・・+1)であるから,2^n×2^n−1は3で割り切れる.

  2^n×2^n=1  (mod3)

  2^n=+1,2^n-1=−1  (mod3)

  2^n=−1,2^n-1=+1  (mod3)

 2^n−1は素数であるから,

  2^n−1=−2=1,2^n-1=+1  (mod3)

 したがって,6を除く偶数の完全数を9で割ると1あまる.

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[Q]完全数の末尾の数は6または8

[Q]p=(2^n−1)の末尾の数は最初の6と28を除くと1または7

nは奇素数、nー1は偶数

2^n-1の末尾の数   2^n−1の末尾の数

   4           7

   6           1

以上により、完全数の末尾の数は6または8

以上により、p=(2^n−1)の末尾の数は最初の6と28を除くと1または7

メルセンヌ数のの末尾の数は最初の3を除くと1または7merusennnusuuno

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