■完全数の問題(その3)

すべての偶数の完全数は

  2^p-1(2^p−1)

で表されます(ユークリッド).

 ただし,pおよび2^p−1が素数(メルセンス素数)でなければなりません.

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 2^n×2^n−1=4^n−1=(4−1)(4^n-1+4^n-2+・・・+1)であるから,2^n×2^n−1は3で割り切れる.

  2^n×2^n=1  (mod3)

  2^n=+1,2^n-1=−1  (mod3)

  2^n=−1,2^n-1=+1  (mod3)

 2^n−1は素数であるから,

  2^n−1=−2=1,2^n-1=+1  (mod3)

 したがって,6を除く偶数の完全数を9で割ると1あまる.

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[Q]完全数の末尾の数は6または8

2^n-1の末尾の数   2^n−1の末尾の数

   2           3

   4           7

   8           5(これは素数にはならない)

   6           1

以上により、完全数の末尾の数は6または8

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