■レムニスケートの5等分(その4)

【3】円積分の加法定理

円積分の逆正弦関数を

  u=arcsinx=∫(0,x)1/(1-t^2)^(1/2)dt=F(x)

と定義するとx=sinuですが,三角関数の加法定理

  sin2u=2sinucosu=2sinu(1-sin^2u)^1/2=2x(1-x^2)^1/2

  sin(u+v)=sinucosv+cosusinv =x(1-y^2)^1/2+y(1-x^2)^1/2

より,

  2u=arcsin(2x(1-x^2)^1/2)

  u+v=arcsin(x(1-y^2)^1/2+y(1-x^2)^1/2)

したがって,

  2 F(x)=F(2x(1-x^2)^1/2)

F(x)+F(y)= F(x(1-y^2)^1/2+y(1-x^2)^1/2)

が成り立ちます.2x(1-x^2)^1/2はxから四則演算および平方根により得られますので,この式は定規とコンパスだけで円弧長を2倍にする作図が可能であることを示しています.

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