【１】テイラー級数

ベキ級数の大切さは，三角関数，指数関数，対数関数など多くのよく知られた関数がベキ級数に展開されることにあります．たとえば，

　　ｅｘｐ（ｘ）＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2＋１／３ｘ^3−１／４ｘ^4＋・・・

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−１／３！ｘ^3＋１／５！ｘ^5−・・・

　　ｓｉｎｈｘ＝ｘ＋１／３！ｘ^3＋１／５！ｘ^5＋・・・

　　ｃｏｓｘ＝１−１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4−・・・

　　ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋・・・

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3＋１／５ｘ^5−１／７ｘ^7＋・・・

など．

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２　　（メルカトール級数）

は

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

にｘ＝１を代入すると得られます．この式は｜ｘ｜＜１でしか有効ではないので，もしこの式からｌｏｇ３を求めようとするならばまったく意味をなさないものになります．ｘ＝２を代入すると

　　２−２^2／２＋２^3／３−２^4／４＋・・・

　＝２−２＋８／３−４＋・・・　　（振動）

　そこで，ｘを−ｘで置き換えた級数

　　ｌｏｇ（１−ｘ）＝−ｘ−ｘ^2／２−ｘ^3／３−ｘ^4／４−・・・

を組み合わせると

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）

が得られます．｜ｘ｜＜１でしか有効ではないのですが，このとき，（１＋ｘ）／（１−ｘ）はすべての正価を取ることができますから，たとえば，

　　（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２　→　ｘ＝１／３

したがって，

　　ｌｏｇ２＝２（１／３＋１／３・３^3＋１／５・３^5＋１／７・３^7＋・・・）

　（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝３　→　ｘ＝１／２

　　ｌｏｇ３＝２（１／２＋１／３・２^3＋１／５・２^5＋１／７・２^7＋・・・）

一般に，（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝Ｎ　→　ｘ＝（Ｎ−１）／（Ｎ＋１）

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