【３】現代の積分法（ストークスの公式）

区分求積法と現在の標準的な積分法を比較してみましょう．サイクロイドは回転角を媒介変数として回転円の半径をａとすると

　　ｘ＝ａ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ａ（１−ｃｏｓθ）

と書くことができます．

　　ｄｘ／ｄθ＝ａ（１−ｃｏｓθ）＝ｙ，ｄｙ／ｄθ＝ａｓｉｎθ

　　ｄ^2ｘ／ｄθ^2＝ａｓｉｎθ，ｄ^2ｙ／ｄθ^2＝ａｃｏｓθ

　　ｄ^3ｘ／ｄθ^3＝ａｃｏｓθ，ｄ^3ｙ／ｄθ^3＝−ａｓｉｎθ

より，

　　ｄｙ／ｄｘ＝ｓｉｎθ／（１−ｃｏｓθ）

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝ｃｏｔθ

　　ｄ^3ｙ／ｄｘ^3＝−ｔａｎθ

面積は積分

Ｓ＝∫ｘｄｙ＝−∫ｙｄｘ

によって求められますが，サイクロイド類では，ストークスの公式

Ｓ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

を使った方が対称性が保たれ，計算しやすいようです．

［１］回転円の半径が1のサイクロイド

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓθ

の弧とｘ軸で囲まれる図形の面積は，

　　ｄｘ＝（１−ｃｏｓθ）ｄθ

　　ｄｙ＝ｓｉｎθｄθ

　　ｘｄｙ−ｙｄｘ＝（θ−ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ−（１−ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（−２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

　Ｓ＝−１／２・∫(0,2π)（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝３π

　［２］回転円の半径が1のサイクロイド（０≦θ≦２π）の弧長は？

　　ｄｘ／ｄθ＝（１−ｃｏｓθ）

　　ｄｙ／ｄθ＝ｓｉｎθ

　　（ｄｘ／ｄθ）^2＋（ｄｙ／ｄθ）^2＝２−２ｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^2（θ／２）

　　Ｌ＝∫(0,2π)２ｓｉｎ（θ／２）ｄθ＝∫(0,π)４ｓｉｎｔｄｔ＝８

弧長は回転円に外接する正方形の周に等しいのですが，円周率πが現れないのは不思議な気がします．

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サイクロイドには

　［１］最速降下線

　［２］等時曲線

などいくつかの興味深い特性があります．サイクロイドはそもそもガリレオによって発見され，ホイヘンスによって振子時計の設計に使われ，そしてパスカルの積分法の研究にも貢献しています．

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