■解析(その5)

【2】区分求積法(17世紀の積分法)

正多角形の頂点のうち,直線に接しているものの一方に目印をつける.そうして正多角形を直線に沿って転がしたとき,正多角形が停止する度に目印をつけた頂点の位置を直線で結んでいく.目印をつけた頂点が再び直線に接したところで回転を止める.このようにして得られた折れ線で囲まれた面積は正多角形の面積のちょうど3倍になっています.

一方,弧長は,正n角形の外接円の半径をrとすると

  Ln=4rsin(π/n)Σsin(kπ/n) (k=1=n-1)

で与えられるのですが,

  sinα+sin2α+sin3α+・・・+sinnα

 =sin(nα/2)・sin{(n+1)α/2}/sin(α/2)

なる関係にα←π/n,n←n−1を代入すると

  Σsin(kπ/n)=1/sin(π/2n)

  Ln =4rsin(π/n)Σsin(kπ/n)

    =4rsin(π/n)/sin(π/2n) → 8r  (n→∞)

となります.これによりサイクロイドの弧長が外接円の直径の4倍であることが示されました.

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