■正多胞体(その5)

【4】n(≧5)次元の正多胞体

 n次元正多胞体の二胞角δは

 {3,3,・・・,3}→cosδ=1/n  (75.5°<δ<90°)

 {3,3,・・・,4}→cosδ=−(n−2)/n  (120°<δ<180°)

 {4,3,・・・,3}→cosδ=0  (δ=90°)

である.

[1]{3,3,・・,3}を用いるならば,ひとつのn−3次元面にそれを3個集めることができる→{3,3,・・,3,3},(3,3,・・,3,4}

[2]{4,3,・・,3}を用いるならば,ひとつのn−3次元面にそれを3個集めることができる→{4,3,・・3,3}

 n(≧5)次元正多胞体は最大でも3つしかないことが理解される.5次元以上のd次元の場合は,2d個の頂点と2d 個の辺をもつ双対立方体(三次元では正八面体),2d 個の頂点と2d個の辺をもつ立方体,d+1個の頂点とd+1個の辺をもつ正単体(三次元では正四面体)の3つですべての正多面体をつくしている.

3次元の場合はこれらの他に2つの正多面体<正十二面体と正二十面体>があり,4次元の場合は他に3つあるといったほうがわかりやすいと思われる.3次元の正多面体は5種類であり,4次元以上でも3種類しかないのに,4次元では6種類もあることは四次元の不思議ともいうべき事実であろう.

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