■正多面体(その2)

【2】シュレーフリ記号

 正p角形がひとつの頂点にq個集まる正多面体を{p,q}で表すことにする.これをシュレーフリ記号という.

[1]正四面体,正八面体,正二十面体

[2]立方体

[3]正十二面体

はシュレーフリ記号を使って,それぞれ

[1]{3,3},{3,4},{3,5}

[2]{4,3}

[3]{5,3}

で表すことができる.

以上のことを定式化してみます.正多面体の各面を正p角形,各頂点にq面が会するとすると,頂点の周囲は4直角未満ですから,不等式

2q(1−2/p)<4,すなわち,

1/p+1/q>1/2   (p,q≧3)

(p−2)(q−2)<4

が正多角形となる必要条件です.このような整数の組は(p,q)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)の5通りで,それぞれ,正4面体,正8面体,正20面体,正6面体,正12面体に対応します.

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